Сырбор в парламенте

В одном парламенте депутаты разделились на консерваторов и либералов. Консерваторы говорили только правду по четным числам, а по нечетным они говорили только неправду. Либералы, наоборот, говорили только правду по нечетным числам, а по четным числам они говорили, только неправду. Каким образом с помощью одного вопроса, заданного любому депутату, можно точно установить, какое сегодня число: четное или нечетное? Ответы должны быть определенными: «да» или «нет».
Ответ: 
1) Надо спросить любого депутата: «Вы консерватор?» Если он ответил «да», то сегодня четное число, а если «нет», то нечетное. По четным числам консерваторы скажут правдивое «да», а либералы, говоря неправду, тоже произнесут «да». По нечетным числам, наоборот, консерваторы, отвечая на вопрос, скажут «нет», но либералы, говорящие в эти дни только правду, тоже скажут «нет».

2) Если бы я завтра спросил тебя "Сегодня чётное число?", ты бы ответил "Да"?

1. Консерватор, чётное.

Да. (Ответил бы "да", потому что завтра солгал бы)

2. Консерватор, нечётное.

Нет. (Ответил бы "нет", потому что завтра будет чётное число и он должен был бы сказать "да", но сегодня-то он врёт)

3. Либерал, чётное.

Да. (На следующий день должен был бы по правде сказать, что нет, но сегодня он врёт, и поэтому говорит, что да)

4. Либерал, нечётное.

Нет. (Завтра чётное число, но завтра он сказал бы неправду).

Вывод: Если депутат отвечает "да", то, безотносительно его фракции следует вывод о чётности числа, если "нет" - то о нечётности.

Теорема о несуществовании

Используя логику еще древние греки доказывали неосуществимое. Часто они называли это софистикой, которая использовалась на третейском суде. Задача используя логический аппарат доказать теорему о несуществовании крокодила.
Доказательство:
1. Крокодил более длинный, чем зеленый.
Доказательство: Крокодил длинный и сверху и снизу, а зеленый только сверху.
2. Крокодил более зеленый, чем широкий.
Доказательство: Крокодил зеленый и вдоль и поперек, а широкий только поперек.
Отсюда следует, что крокодил более длинный, чем широкий.
Аналогично доказывается, что крокодил более широкий чем длинный. Отсюда, казалось бы, можно было сделать вывод, что крокодил квадратен, но все неравенства в рассуждениях были строгими. Из чего следует, что крокодила не существует.

Сова или жаворонок

Сова или жаворонок больше страдают при нарушении биоритма?
Иными словами должна ли сова ложиться спать раньше, а вставать раньше с жаваронком ситуация соответственно наоборот.
Ответ: для начала предположим, что биоритмы таки передаются генетически, не смешиваются и совы и жаворонки действительно существуют. Тогда новым тривиальным решением становится режим дня и объективные причины по которым сова или жаворонок вынуждены этот график соблюдать. Сова встает рано, потому что так "заведено": школа, пту, вуз, работа - требуют соблюдать жесткий режим дня. И жаворонок живет ночью, а днем спит потому что он фрилансер или работает во вторую смену.

Задача Мафата для Шерлока Холмса

В Шерлоке BBC режиссер представил нам не самый знатный, но весьма динамичный сценарий развития событий. Вся детективная нить разжевывается зрителю по полочкам, и нет ничего для искушенного зрителя. Что же еще ожидать от BBC? Но давайте напряжем извилины, пусть Мафат и не гениальный режиссер, но сценарист явно подбросил нам задачки для размышления в каждой серии. Итак задача номер 1, найти их все.
А пока задача для разминки из 1 серии:
Таксист убийца предлагает 2 разноцветные таблетки на пробу: 1 содержит яд - и пассажир умирает, другая содержит снотворное - и человек просыпается в месте назначения. Пассажир обязан принять одну из них, иначе получит пулю в лоб.
Решите загадку и опишите свои действия в комментариях.

"Выгодное" предложение

Товар А и Товар Б в комплекте стоят 1 доллар и 10 центов. При этом Товар А стоит на 1 доллар дороже Товара Б. Сколько стоит Товар Б?
Ответ:
1,05 доллара и 0,05 соотеветственно

Кувшинки и озеро

В озере есть участок, заросший кувшинками. Каждый день этот участок увеличивается в размере в 2 раза. Известно, что кувшинки покроют всю поверхность озера за 48 дней.
За сколько дней кувшинки покроют ровно половину поверхности озера?
Ответ:
Сия прогрессия разрешится на 47 день

Овца, волк и капуста

Детская задача на воображение:
Паромщику на соседний берег требуется перевезти три груза:

• голодного пса
• овцу
• большой качан капусты

с собой он может взять только один груз, но вот незадача, без присмотра:
овца обязательно съест капусту;
голодный пес обгладает овцу;
Ответ: находится при наличии воображения, никто не запрещает паромщикузабрать уже перевезенное животное с собой: взял овцу, затем пса, овцу забрал обратно, взял капусту, оставил пса с капустой,вернулся за овцой.

Парадокс Монти Холла

Рассмотрим задачу:
Пусть игрок играет в игру с 3-мя вариантами ответов и вынужден принимать решение на угад (вероятность 1/3). И пусть у него есть право воспользоваться подсказкой: компьютер одназначно исключит неверный ответ. Какова вероятность, что если игрок не изменит своего решения он проиграет?
Решение: вероятность ошибки 2/3, т.к. игрок выбирал с вероятностью 1/3. Т.е. если игрок выберет вторую карту вероятность его выигрыша будет не (1/2), а 2/3. Данная зависимость сохраняется и для большего числа вариантов.

Поворот системы координат на заданный угол

Меня всегда интересовало, как тот или иной раз совершается поворот по осям  и строится 3д-изображение, а вернее трехмерная проекция. Чтобы стандартную ось координат повернуть на неоторый угол L, нужно воспользоваться тригонометрическими формулами поворота:
x1=x*cosL+y*sinL
y1=-x*sinL+y*cosL

Заключенные и лампочка

В рунете эта задача появилась в 2003 году на Московской олимпиаде по математике (далее была чуть усложнена на habrahabr.ru):
В комнате для допросов одна лампочка под потолком. Надзиратели тюрьмы придумали игру, и объявили о ней заключенным:
"Ежедневно мы будем бросать 100-гранные кости и приводить на допрос в комноту одного из заявивших желание сыграть, спрашивая: "все ли заключенные допрошены?" Ваша свобода зависит от ответа:
- да, и если это так - мы всех отпустим;
- не знаю, тогда мы вызовем следующего, пока не устанем;
- но если хотя бы один из вас скажет да и ошибется ваш срок удвоится!
Все это время на столе будет лежать 5-рублевая монетка, которой вы можете воспользоваться как заблагорассудится. Но с сегодняшнего дня вы больше не сможете общаться с друг с другом за стенами этой комнаты."
Азартных заключенных было так много, что желающих ограничили числом граней, и лишь немногие поняли, что у них совсем мало времени, чтобы придумать ответный план действий, прежде чем их разведут снова в камеры, отняв последний шанс получить свободу победив в ИГРЕ.
Особенности:
1) правильное решение одно;
2) тюремщики обещали не трогать монетку только в течении дня;
3) любые попытки схитрить (оставлять зарубки, переговариваться) обречены на провал, т.к. в тюрьме очень толстые стены, а хитрый начальник всегда может сменить комнату для допроса, во всем остальном тюремщики держат свое слово;
4) заключенных держат в камере по 6 человек;
5) единственное о чем может знать заключенный это был ли кто-то до него и то положение монеты, которое он оставил.
Требуется:
определить минимальное количество дней, которое требуется заключенным, чтобы освободиться.
Ответ:

99, среди заключенных выбирается "счетчик", который:

1) единственный кто может ответить да, если уже есть 99 орлов (это маловероятно, но может произойти на 99 день);

2) считает орлы, которые ложатся оставшимися заключенными по правилу: О, если я еще ни разу не был или (если монета лежит орлом и я не первый), иначе Р.

Дилемма заключенного

Задача имеет несколько "верных" решений. Но для начала постановка, в том виде, в котором она существовала в детских лагерях как "страшилка" (совсем неэтично, но факт):
"В некоторой стране заключенный А и Б приговорены к смертной казни и проходят в газовые камеры, в каждой из них есть кнопка, начинающая подачу газа в соседнюю камеру. Им предлагается:
1) обоим не нажимать на кнопку - смертная казнь заменится на пожизненное заключение с переводом в колонию общего режима;
2) нажать на кнопку первым*;
3) нажать на кнопку обоим - газ будет пущен в обе камеры, но его плотность значительно ниже, шанс смерти - 30%, но есть вероятность в 70% стать калекой на всю жизнь (ноги отнимет)*.
*выживший в газовой камере обретает свободу."
Ответ:
Решением задачи является 1 и 2 вариант, как не странно на "практике" (вспомним, что условия задачи абстракция) часто происходит 3-й.

Построение графиков от вида функции

Построение графиков от вида функции

Функция	Результат
fx+a	сдвиг по Оу
f(x-b)	сдвиг по Ох
k*fx	ширь по Оу
f(mx)	ширь по Ох
-fx	отражение по Ох
f(-x)	отражение по Оу
f|x|	симметрия по Оу
|fx|	симметрия Ох

Теорема Пифагора

Ее помогает запомнить идеальное соотношение. Треугольник со сторонами 3,4 и 5.

c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=5^2=25

Иррациональная степень

Может ли иррациональное число, возведенное в иррациональную степень стать целым?
Ответ:
Принимается вопрос на сообразительность: легко возвести натуральное число в иррациональную степень, получив число иррациональное, повторив процедуру, получим возведение исходного числа в натуральную степень, что есть число натуральное.

Прием в аспирапнтуру

Рассказывают, что великий советский физик Д. Ландау на приёмных экзаменах в аспирантуру предлагал поступающим продолжить последовательности:
р, д, т, ч, п...
о, д, т, ч, п...
п, в, т, ч, п....
Утверждают, правда, что решивших эту задачу он в аспирантуру не принимал, полагая, что отвечающий либо гений, либо идиот.
Ответ:
один, два три, четыре, пять

Дочери и сыновья Казимирова

- Знаешь у меня три дочери, говорит математик Каземиров своему коллеге.
- И сколько им?
- Произведение их возростов равно 36, а сумма номеру дома перед нами.
Коллега взглянув на номер дома ответил:
- Мне этого не достаточно!
- Старшую зовут Катя!
Затем математики перешли на разговор о погоде.
***
У меня 3 сына, произведение их возраста - 36, а сумма равна числу деревьев в этом саду, ах да, старший - рыжий.
Ответ:

6*6*1 и 2*2*9, только во втором варианте старшее число одно.