Овца, волк и капуста

Детская задача на воображение:
Паромщику на соседний берег требуется перевезти три груза:

• голодного пса
• овцу
• большой качан капусты

с собой он может взять только один груз, но вот незадача, без присмотра:
овца обязательно съест капусту;
голодный пес обгладает овцу;
Ответ: находится при наличии воображения, никто не запрещает паромщикузабрать уже перевезенное животное с собой: взял овцу, затем пса, овцу забрал обратно, взял капусту, оставил пса с капустой,вернулся за овцой.

Парадокс Монти Холла

Рассмотрим задачу:
Пусть игрок играет в игру с 3-мя вариантами ответов и вынужден принимать решение на угад (вероятность 1/3). И пусть у него есть право воспользоваться подсказкой: компьютер одназначно исключит неверный ответ. Какова вероятность, что если игрок не изменит своего решения он проиграет?
Решение: вероятность ошибки 2/3, т.к. игрок выбирал с вероятностью 1/3. Т.е. если игрок выберет вторую карту вероятность его выигрыша будет не (1/2), а 2/3. Данная зависимость сохраняется и для большего числа вариантов.

Поворот системы координат на заданный угол

Меня всегда интересовало, как тот или иной раз совершается поворот по осям  и строится 3д-изображение, а вернее трехмерная проекция. Чтобы стандартную ось координат повернуть на неоторый угол L, нужно воспользоваться тригонометрическими формулами поворота:
x1=x*cosL+y*sinL
y1=-x*sinL+y*cosL

Заключенные и лампочка

В рунете эта задача появилась в 2003 году на Московской олимпиаде по математике (далее была чуть усложнена на habrahabr.ru):
В комнате для допросов одна лампочка под потолком. Надзиратели тюрьмы придумали игру, и объявили о ней заключенным:
"Ежедневно мы будем бросать 100-гранные кости и приводить на допрос в комноту одного из заявивших желание сыграть, спрашивая: "все ли заключенные допрошены?" Ваша свобода зависит от ответа:
- да, и если это так - мы всех отпустим;
- не знаю, тогда мы вызовем следующего, пока не устанем;
- но если хотя бы один из вас скажет да и ошибется ваш срок удвоится!
Все это время на столе будет лежать 5-рублевая монетка, которой вы можете воспользоваться как заблагорассудится. Но с сегодняшнего дня вы больше не сможете общаться с друг с другом за стенами этой комнаты."
Азартных заключенных было так много, что желающих ограничили числом граней, и лишь немногие поняли, что у них совсем мало времени, чтобы придумать ответный план действий, прежде чем их разведут снова в камеры, отняв последний шанс получить свободу победив в ИГРЕ.
Особенности:
1) правильное решение одно;
2) тюремщики обещали не трогать монетку только в течении дня;
3) любые попытки схитрить (оставлять зарубки, переговариваться) обречены на провал, т.к. в тюрьме очень толстые стены, а хитрый начальник всегда может сменить комнату для допроса, во всем остальном тюремщики держат свое слово;
4) заключенных держат в камере по 6 человек;
5) единственное о чем может знать заключенный это был ли кто-то до него и то положение монеты, которое он оставил.
Требуется:
определить минимальное количество дней, которое требуется заключенным, чтобы освободиться.
Ответ:

99, среди заключенных выбирается "счетчик", который:

1) единственный кто может ответить да, если уже есть 99 орлов (это маловероятно, но может произойти на 99 день);

2) считает орлы, которые ложатся оставшимися заключенными по правилу: О, если я еще ни разу не был или (если монета лежит орлом и я не первый), иначе Р.

Дилемма заключенного

Задача имеет несколько "верных" решений. Но для начала постановка, в том виде, в котором она существовала в детских лагерях как "страшилка" (совсем неэтично, но факт):
"В некоторой стране заключенный А и Б приговорены к смертной казни и проходят в газовые камеры, в каждой из них есть кнопка, начинающая подачу газа в соседнюю камеру. Им предлагается:
1) обоим не нажимать на кнопку - смертная казнь заменится на пожизненное заключение с переводом в колонию общего режима;
2) нажать на кнопку первым*;
3) нажать на кнопку обоим - газ будет пущен в обе камеры, но его плотность значительно ниже, шанс смерти - 30%, но есть вероятность в 70% стать калекой на всю жизнь (ноги отнимет)*.
*выживший в газовой камере обретает свободу."
Ответ:
Решением задачи является 1 и 2 вариант, как не странно на "практике" (вспомним, что условия задачи абстракция) часто происходит 3-й.

Построение графиков от вида функции

Построение графиков от вида функции

Функция	Результат
fx+a	сдвиг по Оу
f(x-b)	сдвиг по Ох
k*fx	ширь по Оу
f(mx)	ширь по Ох
-fx	отражение по Ох
f(-x)	отражение по Оу
f|x|	симметрия по Оу
|fx|	симметрия Ох

Теорема Пифагора

Ее помогает запомнить идеальное соотношение. Треугольник со сторонами 3,4 и 5.

c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=5^2=25

Иррациональная степень

Может ли иррациональное число, возведенное в иррациональную степень стать целым?
Ответ:
Принимается вопрос на сообразительность: легко возвести натуральное число в иррациональную степень, получив число иррациональное, повторив процедуру, получим возведение исходного числа в натуральную степень, что есть число натуральное.

Прием в аспирапнтуру

Рассказывают, что великий советский физик Д. Ландау на приёмных экзаменах в аспирантуру предлагал поступающим продолжить последовательности:
р, д, т, ч, п...
о, д, т, ч, п...
п, в, т, ч, п....
Утверждают, правда, что решивших эту задачу он в аспирантуру не принимал, полагая, что отвечающий либо гений, либо идиот.
Ответ:
один, два три, четыре, пять

Дочери и сыновья Казимирова

- Знаешь у меня три дочери, говорит математик Каземиров своему коллеге.
- И сколько им?
- Произведение их возростов равно 36, а сумма номеру дома перед нами.
Коллега взглянув на номер дома ответил:
- Мне этого не достаточно!
- Старшую зовут Катя!
Затем математики перешли на разговор о погоде.
***
У меня 3 сына, произведение их возраста - 36, а сумма равна числу деревьев в этом саду, ах да, старший - рыжий.
Ответ:

6*6*1 и 2*2*9, только во втором варианте старшее число одно.